Question

【題目】如圖，在四棱錐中，頂點P在底面的投影恰為正方形ABCD的中心且，設點M，N分別為線段PD，PO上的動點，已知當取得最小值時，動點M恰為PD的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為____________．

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據已知條件可知四棱錐為正四棱錐；在上取一點，使得，從而可知三點共線時，取最小時，且最小值為；由三線合一性質可確定；求得后，利用勾股定理構造關于外接球半徑的方程，解方程求得外接球半徑，代入球的表面積公式可求得結果.

四邊形為正方形，頂點在底面投影為正方形中心

四棱錐為正四棱錐

在上取一點，使得，則

三點共面 三點共線時，最小，最小值為

取最小值時，為中點 為中點

又當時，最小

設四棱錐外接球半徑為

則，解得：

四棱錐外接球的表面積：

本題正確選項：