Question

已知圓Mx²+y²-2tx-6t-10=0，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），若橢圓C與x軸的交點A（5，y₀）到其右準線的距離為

10

3

；點A在圓M外，且圓M上的點和點A的最大距離與最小距離之差為2．
（1）求圓M的方程和橢圓C的方程；
（2）設點P為橢圓C上任意一點，自點P向圓M引切線，切點分別為A、B，請試著去求

P

A•

P

B的取值范圍；
（3）設直線系M：xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）；求證：直線系M中的任意一條直線l恒與定圓相切，并直接寫出三邊都在直線系M中的直線上的所有可能的等腰直角三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意得到a=5，由A到橢圓右準線的距離等于

10

3

得到c的值，由b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求，再由圓M上的點和點A的最大距離與最小距離之差為2，即圓的半徑等于1求出t的值，則圓的方程可求；
（2）因為圓M的圓心在橢圓的左焦點上，而橢圓上的點中，到左焦點距離最近的點是左頂點，距離最遠的點是右頂點，探索發現P點位于左頂點時

P

A•

P

B的值最小，P點位于橢圓右頂點時

P

A•

P

B的值最大；
（3）由點到直線距離公式可知，點（0，3）到直線xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）的距離等于1，由此說明直線系M中的任意一條直線l恒與定圓x²+（y-3）²=1相切，作圖分析出能夠構成等腰直角三角形的所有類型，利用平面幾何知識求出每一種等腰直角三角形的腰，則面積可求．

解答：（1）解：由題意可知a=5，且

a2

c

-a=

10

3

，把a=5代入解得c=3，所以b²=a²-c²=16，
所以橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
由x²+y²-2tx-6t-10=0，得（x-t）²+y²=t²+6t+10，所以該圓的圓心在x軸上，
因點A在圓M外，且圓M上的點和點A的最大距離與最小距離之差為2，即圓的半徑等于1，
所以t²+6t+10=1，解得t=-3，
所以圓M的方程為（x+3）²+y²=1；
（2）解：如圖，

因為圓M的圓心位于橢圓的左焦點上，且圓在橢圓內部，
所以橢圓的左頂點到圓M的圓心距離最近，則點P位于橢圓左頂點時|

PA

|=|

PB

|最小，且∠APB最大，則cos＜

PA

，

PB

＞最小．當P位于橢圓右頂點時|

PA

|=|

PB

|最大，且∠APB最小，則cos＜

PA

，

PB

＞最大．
當P位于橢圓左頂點時，由圖可知兩條切線長為

3

，兩切線夾角為60°，余弦值為

1

2

．當P位于橢圓右頂點時，由圖可知兩條切線長為

63

，兩切線夾角一半的正弦值為

1

8

，兩切線夾角余弦值為1-2×(

1

8

)2=

31

32

．
所以

P

A•

P

B的最小值為|

PA

||

PB

|COS60°=

3

×

3

×

1

2

=

3

2

．最大值為

63

×

63

×

31

32

=

1953

32

．
所以

P

A•

P

B的取值范圍是[

3

2

，

1953

32

]；
（3）證明：因為xcosθ+（y-3）sinθ=1，所以點P（0，3）到M中每條直線的距離d=

1

cos2θ+sin2θ

=1，
即M為圓C：x²+（y-3）²=1的全體切線組成的集合，所以直線系M中的任意一條直線l恒與定圓
C：x²+（y-3）²=1相切．
三邊都在直線系M中的直線上的所有可能的等腰直角三角形的情況有三種，一種是三角形外切于圓，另外兩種是
圓在三角形外部．
如圖，

等腰直角三角形ABC的腰AB=2+

2

，其面積S=

1

2

×(2+

2

)×(2+

2

)=3+2

2

；
等腰直角三角形ADE的腰AD=2-

2

，其面積S=

1

2

×(2-

2

)×(2-

2

)=3-2

2

；
等腰直角三角形GHC的腰GC=

2

，其面積S=

1

2

×

2

×

2

=1．

點評：本題考查了圓與橢圓的標準方程，考查了平面向量數量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關系，該題考查了學生的探索思維能力和發散思維能力，屬難題．