Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，證明：；

（2）若，且，求的取值范圍；

（3）若，且方程有個不同的根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得，將等式兩邊分別代入解析式即可證明.

（2）根據(jù)題意可得函數(shù)為增函數(shù)，只需在恒成立，分離參數(shù)即可求解.

（3）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合即可求解.

（1）當(dāng)時，則，

所以左邊，

右邊

，即證.

（2）由，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即在上恒成立，

即在上恒成立，只需，

設(shè)，由，所以，

所以.

（3）當(dāng)時，

則，

令，解得或；

令，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

且，，

在同一坐標(biāo)系中作出與的圖像如圖所示：

方程有個不同的根，由圖像可知：