Question

【題目】如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，且使兩個三角形所在的平面互相垂直，若

∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。

⑴ 求證：平面平面ACD；

⑵ 求二面角的平面角的正切值；

⑶ 設過直線AD且與BC平行的平面為，求點B到平面的距離。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）

【解析】分析：（1）要證平面平面ACD，關鍵是證AC⊥平面ABD，只需證AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC即可；

（2）設BC中點為E，連接AE，過E作EF⊥CD于F，連接AF，由三垂線定理，可得∠EFA為二面角的平面角，從而可求；

（3）過點D作DG//BC，且CB＝DG，連接AG，利用等體積法即可.

詳解：⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，

∴BD⊥平面ABC.

AC平面ABC，

∴AC⊥BD，

又AC⊥AB，BD∩AB＝B，

∴AC⊥平面ABD.

又AC平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD；

⑵設BC中點為E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連接AF，

由三垂線定理：∠EFA為二面角的平面角.

∴二面角的平面角的正切值為2.

（3）過點D作DG//BC，且CB＝DG，連接AG

∥平面ADG，

∴B到平面ADG的距離等于C到平面ADG的距離h

.