Question

（2013•豐臺區二模）如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

Answer 1

分析：（I）根據翻折后DE仍然與BE、PE垂直，結合線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由線面垂直的性質可得PB⊥DE；
（II）分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．設PE=a，可得點B、D、C、P關于a的坐標形式，從而得到向量

PB

、

BC

坐標，利用垂直向量數量積為0的方法建立方程組，解出平面PCD的一個法向量為

n

=（1，1，

4-a

a

），由PD與平面PBC所成的角為30°和向量

PD

的坐標，建立關于參數a的方程，解之即可得到線段PE的長．

解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；                      …．（4分）
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），…（5分）
設PE=a，則B（0，4-a，0），D（a，0，0），C（2，2-a，0），
P（0，0，a），…（7分）
可得

PB

=(0，4-a，-a)，

BC

=(2，-2，0)，…（8分）
設面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

(4-a)y-az=0 2x-2y=0

令y=1，可得x=1，z=

4-a

a

因此

n

=(1，1，

4-a

a

)是面PBC的一個法向量，…（10分）   
∵

PD

=(a，0，-a)，PD與平面PBC所成角為30°，…（12分）
∴sin30°=|cos＜

PD

，

n

＞|，即|

a-(4-a)

2a2 × 2+ (4-a)2 a2

|=

1

2

，…（11分）
解之得：a=

4

5

，或a=4（舍），因此可得PE的長為

4

5

．…（13分）

點評：本題給出平面圖形的翻折，求證線面垂直并在已知線面角的情況下求線段PE的長，著重考查了線面垂直的判定與性質和利用空間向量研究直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．