Question

【題目】已知是圓：上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線與半徑交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）記曲線與軸交于兩點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，直線，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見解析

【解析】

（1）由已知，利用橢圓的定義計(jì)算即可；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為:，與聯(lián)立得： ，設(shè)點(diǎn) ，則， ；設(shè)點(diǎn) 同理得，；由即可得出結(jié)論.

（1）由線段的垂直平分線與半徑交于點(diǎn)，得，

所以點(diǎn)的軌跡為以焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓， 故 ， ，

曲線的方程為

（2）由（1）得 ,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，直線的方程為: ，

將與聯(lián)立整理得： ，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則 ，故，則 ，

直線的方程為:，將與聯(lián)立整理得：，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則 ，故，則，

的斜率為

的斜率為

因?yàn)?/span> ，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).