Question

設同一平面內的兩向量

a

、

b

不共線，

c

是該平面內的任一向量，則關于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

的解的情況，下列敘述正確的是（　　）

• A、至少有一個實數解
• B、至多有一個實數解
• C、有且只有一個實數解
• D、可能有無數個解

Answer 1

分析：關于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

，可轉化為

c

=-x²

a

-x

b

，由向量

a

、

b

不共線，根據平面向量的基本定理我們易判斷存在有且僅有一對實數λ₁、λ₂，滿足方程，即λ₁=-x²且λ₂=-x，根據實數的性質，我們易判斷方程根的個數．

解答：解：原方程即：

c

=-x²

a

-x

b

，
∵

a

、

b

不共線，可視為“基底”，
根據平面向量基本定理知，
有且僅有一對實數λ₁、λ₂
使得λ₁=-x²且λ₂=-x，
即當λ₁=-λ₂²時方程有一解，否則方程無解，
故選B．

點評：本題考查的知識點是平面向量的基本定理及其意義，此題不可用“判別式”，“判別式”只能判別實系數一元二次方程的根的情況，而本題中二次方程的系數是向量．