Question

【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）當a= 時，求使不等式f（2x﹣ ）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）設x0∈A，證明f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a= 時，原不等式化為：|x﹣ |﹣|x+ |＞1①， 當x 時，①式化為： ﹣x+x+ ＞1恒成立，
即x ；
當- ＜x＜ 時，①式化為： ﹣x﹣x﹣ ＞1恒成立，
解得x＜0，即- ＜x＜0；
當x≥ 時，①式化為：﹣ +x﹣x﹣ ＞1無解，
綜上，原不等式的解集A=（﹣∞，0）；
證明：（Ⅱ）因為x0∈A，所以x0＜0，
又f（x）=|a﹣x|，
所以f（x0x）﹣x0f（x）=|a﹣x0x|﹣x0|a﹣x|
=|a﹣x0x|+|﹣x0a+x0x|≥|a﹣x0x﹣x0a+x0x|
=|a﹣ax0|=f（ax0），
所以f（x0x）≥x0f（x）+f（ax0）
【解析】（Ⅰ）把a的值代入不等式化簡后，對x分類討論，分別去掉絕對值求出每個不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）由（I）和x0∈A求出x0的范圍，化簡f（x0x）﹣x0f（x）后利用絕對值三角不等式證明結(jié)論成立．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．