Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]
已知函數f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均為正實數，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）當b=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）當x∈R時，求證f（x）≤g（x）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，當b=1時，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|= ， 當x≤﹣1時，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1無解，不等式f（x）≥1的解集為；
當﹣1＜x＜1時，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥ ，所以 ≤x＜1；
當x≥1時，f（x）=2≥1恒成立，
所以不等式f（x）≥1的解集為[ ，+∞）．
（Ⅱ）（Ⅱ）當x∈R時，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；
g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2 ．
而 a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1= （ a2+c2+b2+a2+c2+b2 ）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，
當且僅當a=b=c= 時，等號成立，即 a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．
【解析】（Ⅰ）當b=1時，把f（x）用分段函數來表示，分類討論，求得f（x）≥1的解集．（Ⅱ）當x∈R時，先求得f（x）的最大值為b2+1，再求得g（x）的最小值，根據g（x）的最小值減去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．