Question

已知函數f(x)=

(x2-2ax)ex x＞0 bx x≤0

，x=

2

是函數y=f（x）的極值點．
（I）求實數a的值；
（II）若方程f（x）-m=0有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f′（x），根據極值的定義可知f′(

2

)=0，建立等式關系，解之即可；
（II）先根據函數的單調性研究出函數在（0，+∞）上的值域，然后要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，討論b與0的大小，結合圖象進行求解即可．

解答：解：（I）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（2分）
由已知，f′(

2

)=0，
∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，得a=1
（II）由（I）x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x
令f'（x）=0得x=

2

（x=-

2

舍去）
當x＞0時

所以，當x∈(0，

2

)時，f（x）單調遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當x∈(

2

，+∞)時，f（x）單調遞減，f（x）∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
∴x＞0時，f（x）∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
（1）當b＞0時，m=0或m=(2-

2

)e

2

（2）當b=0時，m∈((2-2

2

)e

2

，0)
（3）當b＜0時，m((2-2

2

)e

2

，+∞)

點評：本題主要考查函數與導數的基本知識，幾何意義及其應用，同時考查學生分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想以及轉化與歸化的能力．