Question

【題目】已知函數f（x）=x3+3x2-9x ．
（I）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[-4，c]上的最小值為-5，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）=x3+3x2-9x的定義域是R，且f '（x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1）

令f '（x）=0，得x1=-3，x2=1，

f（x）與f '（x）在（- ，+ ）上的情況如下：

x	（+ ,-3）	-3	（-3,1）	1	（1,+ ）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	27	↘	-5	↗

所以f（x）的單調遞增區間為（- ，-3）和（1，+ ）；單調遞減區間為（-3，1），

（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中結論可知：

當c≥1時，函數f（x）在區間[-4，c]上的最小值為f（1）=1+3-9 =-5；

當-4<c<1時，函數f（x）在區間[-4，c]上的最小值大于-5，不合題意舍，

因此，c的取值范圍是[1，+ ）．

【解析】(1)求出函數的導函數，解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區間。(2)通過討論c的范圍，求出函數的最值從而求出c的取值范圍。
【考點精析】掌握二次函數在閉區間上的最值和利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道當時，當時，；當時在上遞減，當時，；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．