Question

在極坐標系中，已知兩點O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以OB為直徑的圓C的極坐標方程，然后化成直角方程；
（2）以極點O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=t y=1+2t

（t為參數）．若直線l與圓C相交于M，N兩點，圓C的圓心為C，求△MNC的面積．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，利用Rt△OPB中的邊角關系cos∠POB=

OP

OB

即可求出；
（2）求出圓心到直線的距離和弦長即可得出面積．

解答：解：（1）設P（ρ，θ）為圓上任意一點，則|OP|=ρ，∠POB=θ-

π

4

，
在Rt△POB中，cos（θ-

π

4

）=

|OP|

|OB|

，即ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)，
∴ρ²=2ρ cosθ+2ρ sinθ?，化為x²+y²=2x+2y，
∴圓C的直角坐標方程為 （x-1）²+（y-1）²=2．
（2）由直線l的參數方程

x=t y=1+2t

消去參數t化為普通方程y=2x+1，
圓心C（1，1）到直線l的距離為d=

|2-1+1|

5

=

2

5

，
弦長|MN|=2

2-( 2 5 )2

=

2 30

5

，
∴S=

1

2

×

2 30

5

×

2

5

=

2 6

5

．

點評：熟練掌握求圓的極坐標方程及與直角坐標方程的互化、直線與圓的相交弦長問題及點到直線的距離是解題的關鍵．