Question

【題目】若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點．設函數．

（1）若函數在上無極值點，求的取值范圍；

（2）求證：對任意實數，在函數的圖象上總存在兩條切線相互平行；

（3）當時，若函數的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問；這樣的平行切線共有幾組？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）詳見解析（3）3組

【解析】

（1）求得導函數，求出的解，題意說明此解不在區間上，從而得關于的不等式組，解之可得所求范圍；

（2）從特殊值出發，不妨設，此方程中，必有兩個不等實根，再證明斜率為1的兩條切線不可能重合即可；

（3）設出切點坐標，，由得，寫出兩切線方程，求出兩切線間距離由，可化簡為，此方程有三解（可用換元法說明），從而知結論為3組．

（1）由函數，得，由，得，或，

因函數在上無極值點，所以或，解得或.

（2）由（1）知，令，則，所以，即對任意實數，總有兩個不同的實數根，所以不論為何值，函數在兩點，處的切線平行

設這兩條切線方程為分別為和，若兩切線重合，則,即，即，而=，化簡得，此時，與矛盾，所以，這兩條切線不重合，綜上，對任意實數，函數的圖象總存在兩條切線相互平行

（3）當時，，由（2）知時，兩切線平行.設,,不妨設，

過點的切線方程為

所以，兩條平行線間的距離，化簡得

，

令，則，即，即，顯然為一解，有兩個異于的正根，所以這樣的有3解，而，所以有3解，所以滿足此條件的平行切線共有3組