Question

已知圓C：（x-a）²+（y-a-1）²=9，其中a為實常數．
（1）若直線l：x+y-3=0被圓C截得的弦長為2，求a的值；
（2）設點A（3，0），0為坐標原點，若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線的距離公式，結合直線l：x+y-3=0被圓C截得的弦長為2，利用勾股定理，可求a的值；
（2）求出M在圓心為D（-1，0），半徑為2的圓上，根據點M在圓C上，可得圓C與圓D有公共點，從而可得不等式，解不等式，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）由圓的方程知，圓C的圓心為C（a，a+1），半徑為3…（1分）
設圓心C到直線l的距離為d，
∵l被圓C截得弦長為2，
∴d²+1=9，即d=2

2

，
∴

|a+(a+1)-3|

2

=2

2

，即|a-1|=2，
∴a=-1或a=3…（5分）
（2）設M（x，y），由|MA|=2|MO|，得

(x-3)2+y2

=2

x2+y2

即x²+y²+2x-3=0…（7分）
∴點M在圓心為D（-1，0），半徑為2的圓上．
又點M在圓C上，∴圓C與圓D有公共點，
∴1≤|CD|≤5…（9分）
∴1≤

(a+1)2+(a+1)2

≤5，
解得-1-

5 2

2

≤a≤-1-

2

2

或-1+

2

2

≤a≤-1+

5 2

2

…（11分）
故a的取值范圍是[-1-

5 2

2

，-1-

2

2

]∪[-1+

2

2

，-1+

5 2

2

]…（12分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線距離公式的運用，考查圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．