Question

已知圓C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直線l：x-y+3=0．當直線l被圓C截得的弦長為2

2

時，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的方程找出圓心坐標與圓的半徑，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，然后根據(jù)垂徑定理得到弦心距，弦的一半及圓的半徑成直角三角形，利用勾股對了列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到滿足題意a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圓的方程中確定出圓的方程，即可得到圓心的坐標，并判斷得到已知點在圓外，分兩種情況：當切線的斜率不存在時，得到x=3為圓的切線；當切線的斜率存在時，設切線的斜率為k，由（3，5）和設出的k寫出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑即可列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所設的切線方程即可確定出切線的方程．綜上，得到所有滿足題意的切線的方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意可得圓心C（a，2），半徑r=2，
則圓心到直線l：x-y+3=0的距離d=

|a-2+3|

12+(-1)2

=

|a+1|

2

，
由勾股定理可知d2+(

2 2

2

)2=r2，代入化簡得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，圓心坐標為（1，2），圓的半徑r=2
由（3，5）到圓心的距離為

4+9

=

13

＞r=2，得到（3，5）在圓外，
∴①當切線方程的斜率存在時，設方程為y-5=k（x-3）
由圓心到切線的距離d=

|-2k+3|

k2+1

=r=2，
化簡得：12k=5，可解得k=

5

12

，
∴切線方程為5x-12y+45=0；
②當過（3，5）斜率不存在直線方程為x=3與圓相切．
由①②可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3．

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道綜合題．