Question

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線C，直線過點且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在；最大值為

試題分析：該題考察曲線方程的求法、直線和橢圓的位置關系、函數的最大值，考察數形結合、綜合分析問題和解決問題的能力.（Ⅰ）由已知曲線是以為焦點的橢圓，且，故曲線的方程為；（Ⅱ）設過點的直線方程為： ，將它與橢圓：聯立，可得，設，，然后根據韋達定理代入，可得關于的函數，再求其最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義可知，點的軌跡C是以，為焦點，長半軸長為2的橢圓．                                                  
故曲線的方程為．                        4分
（Ⅱ）存在△面積的最大值.
因為直線過點，可設直線的方程為 或（舍）．
則
整理得 ．                             7分
由．
設．
解得 ， ．
則 ．
因為．                10分  
設，，．
則在區間上為增函數．
所以．
所以，當且僅當時取等號，即．
所以的最大值為．                          12分