Question

若存在實數k，b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數x同時滿足：f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b，則稱直線：l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx（其中e為自然對數的底數）．試問：
（1）函數f（x）和g（x）的圖象是否存在公共點，若存在，求出交點坐標，若不存在，說明理由；
（2）函數f（x）和g（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據求導公式，求出函數的導數，根據導數判斷函數的單調性并求極值，從而可知，函數f（x）和g（x）的圖象在x=

e

處有公共點
（2）存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e，構造函數，求出函數函數的導數，根據導數求出函數的最值

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

令F′（X）=0，得x=

e

，
當0＜x＜

e

時，F′（X）＜0，X＞

e

時，F′（x）＞0
故當x=

e

時，F（x）取到最小值，最小值是0
從而函數f（x）和g（x）的圖象在x=

e

處有公共點
（2）由（1）可知，函數f（x）和g（x）的圖象在x=

e

處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x^2-kx-k

e

+e，
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x²-kx+k

e

-e≥0當x?R恒成立，
則△=k²-4k

e

+4e=（k-2

c

）^2≤0，只有k=2

e

，此時直線方程為：y=2

e

x-e，
下面證明g（x）≤2

e

x-e^exx＞0恒成立，
令^G（x）=2

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2elnx，
G′（X）=2

c

-

2c

x

=（2

c

x-2c）/x=2

c

（x-

e

）/x，
當x=

e

時，G′（X）=0，當0＜x＜

e

時G′（X）＞0，
則當x=

e

時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2

e

x-e-g（x）≥0，則g（x）≤2

e

x-e當x＞0時恒成立．
∴函數f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2

e

x-e

點評：本題以函數為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，考查函數的求導，利用導數求最值，屬于難題．