Question

已知：

a

=(

3

-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在實(shí)數(shù)k和角x使

c

=

a

+(sinx-3)

b

，

d

=-k

a

+sinx

b

，且

c

⊥

d

，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先求出 

a

2，

b

2，

a

•

b

 的值，由

c

•

d

=0得到4k=(sinx-

3

2

)2-

9

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得4k的最值，即可得到實(shí)數(shù)k的值域．

解答：解：

a

2=4，

b

2=1，

a

•

b

=0，
由題意得

c

•

d

=（

a

+(sinx-3)

b

）•（-k

a

+sinx

b

）=-k

a

2+sinx

a

•

b

-k（sinx-3）

a

•

b

+sinx（sinx-3）

b

2
=-4k+0+0+sinx（sinx-3）=0，
∴4k=(sinx-

3

2

)2-

9

4

，
∴當(dāng)sinx=1時(shí)，4k有最小值為-2，
當(dāng) sinx=-1時(shí)，4k有最大值為 4．  故 k 的最小值-

1

2

，k的最大值為1，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，以及二次函數(shù)的最值的求法．