Question

（本小題滿分12分）

已知平面向量a=，b=

（1）證明ab；

（2）若存在實數k，t，使x=a+b，y=-ka+tb，且xy，試求k，t的函數關系式;

（3）根據（2）的結論，討論關于t的方程的解的情況。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   略

（2）   k=

（3）

時，直線k=m與曲線僅有一個交點，則方程有一解；

當時，直線k=m與曲線有兩個交點，則方程有兩解；

當時，直線k=m與曲線有三個交點，則方程有三個解。

【解析】解（1）a·b=0，ab。

（2）xy， x·y=0，即〔a+b〕·(—ka+tb)=0

整理得-ka²+〔t­ -k〕a·b+tb²=0

 a·b=0，a² =4，b²=1。上式化為-4k+ t =0，k=

(3)討論方程的解得情況，可以看做曲線與直線k=m的交點個數。

于是。

令，解得，當變化時，、的變化情況如下表：

				１
		0	－	０	＋

當時，有極大值，極大值為。

當時，有極小值，極小值為。

而時，得。  所以的圖像大致如圖所示

于是時，直線k=m與曲線僅有一個交點，則方程有一解；

當時，直線k=m與曲線有兩個交點，則方程有兩解；

當時，直線k=m與曲線有三個交點，則方程有三個解。