Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．

（1）函數f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M；

（3）若函數f（x）=sinkx∈M，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=xM；（2）見解析（3）{k|k=mπ，m∈Z}．

【解析】

試題（1）將f（x）=x代入定義（x+T）=Tf（x）驗證知函數f（x）=x不屬于集合M．

（2）由題意存在x∈R使得ax=x，由新定義知存在非零常數T使得aT=T，將函數關系式代入f（x+T）=Tf（x）驗證知f（x）=ax∈M．

（3）若函數f（x）=sinkx∈M，依據定義應該有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[﹣1，1]對任意實數都成立，故T=±1．將T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范圍即可．

解：（1）對于非零常數T，

f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．

因為對任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，

所以f（x）=xM；

（2）因為函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得ax=x，

顯然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常數T，使aT=T．

于是對于f（x）=ax有f（x+T）=ax+T=aTax=Tax=Tf（x）故f（x）=ax∈M；

（3）當k=0時，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M．

當k≠0時，因為f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常數T，

對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，

即sin（kx+kT）=Tsinkx．

因為k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，

只有T=±1，當T=1時，sin（kx+k）=sinkx成立，

則k=2mπ，m∈Z．

當T=﹣1時，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，

即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，

則﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．

綜合得，實數k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}．