Question

【題目】對于函數f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A，B兩點關于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）－1和3.

（2）(0,1)

（3）－

【解析】

解：(1)∵a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3，

f(x)＝xx2－2x－3＝0x＝－1，x＝3，

∴函數f(x)的不動點為－1和3.

(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個不等實根，轉化為ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不等實根，需有判別式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0Δ1＝(－4a)2－4×4a<00<a<1，

∴a的取值范圍為(0,1)．

(3)設A(x1，x1)，B(x2，x2)，則x1＋x2＝－，

則A，B中點M的坐標為(，)，即M(－，－)．

∵A，B兩點關于直線y＝kx＋對稱，

且A，B在直線y＝x上，

∴k＝－1，A，B的中點M在直線y＝kx＋上．

∴－＝＋b＝－＝－，

利用基本不等式可得當且僅當a＝時，b的最小值為－.