Question

圓C₁：x²+y²+2ax+a²-4=0和圓C₂：x²+y²-2by+b²-1=0相內切，若a，b∈R，且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定,基本不等式在最值問題中的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用,直線與圓

分析：根據兩圓的標準方程求出圓心和半徑，可得a²+4b²=1，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由題意，兩圓的標準方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
∴圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為2和1，
∵兩圓相內切，∴

a2+4b2

=1，∴a²+4b²=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=（

1

a2

+

1

b2

）（a²+4b²）=5+

a2

b2

+

4b2

a2

≥5+4=9
故答案為：9．

點評：本題考查兩圓的位置關系，兩圓相內切的性質，圓的標準方程的特征，基本不等式的應用，得到a²+4b²=1是解題的關鍵和難點．