Question

【題目】若函數(shù)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“和諧函數(shù)”:

（1）任意恒成立;

（2）任意且，都有

以下四個函數(shù):①；②；③；④中是“和諧函數(shù)”的為________________（寫出所有正確的題號）.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

先由單調(diào)性以及奇偶性定義得到 “和諧函數(shù)”滿足的條件，再以此為依據(jù)，分別判斷奇偶性以及單調(diào)性，即可判斷.

任意恒成立，則任意

即函數(shù)在上為奇函數(shù)

取，因為任意且，都有，所以在上增函數(shù)

①函數(shù)的定義域為，故①不是和諧函數(shù)；

②，令

，則函數(shù)在上為奇函數(shù)，但，即不是增函數(shù)，故②不是和諧函數(shù)；

③令，定義域為，則函數(shù)在上為奇函數(shù)；

設(shè)，

因為，所以，即

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故③為和諧函數(shù)；

④令，定義域為

，則函數(shù)在上為奇函數(shù)；

設(shè)，

因為，，所以

即

即函數(shù)在上為增函數(shù)，故④是和諧函數(shù)；

故答案為：③④