Question

【題目】設橢圓C： 的一個頂點與拋物線的焦點重合， 分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，過橢圓右焦點的直線l與橢圓C交于兩點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若，求直線l的方程；

(3)若是橢圓C經過原點O的弦， ，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)；(3)見解析．

【解析】試題分析：（1）由題意，橢圓的標準方程為＋＝1；（2）設直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韋達定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韋達定理計算，得到答案。

試題解析：

(1)橢圓的頂點為(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴橢圓的標準方程為＋＝1.

(2)由題可知，直線l與橢圓必相交．

①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意．

②當斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，

且M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝＋k2

＝＝－2，解得k＝±，

故直線l的方程為y＝ (x－1)或y＝－ (x－1)．

(3)證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，

由(2)可得|MN|＝|x1－x2|

＝

＝

＝，

由消去y并整理得x2＝，

|AB|＝|x3－x4|＝4，

∴＝＝4，為定值．