Question

已知函數f(x)=log_a(a－a^x)且a＞1，

（1）求函數的定義域和值域；

（2）討論f(x)在其定義域上的單調性；

（3）證明函數圖象關于y=x對稱．

 

Answer 1

【答案】

（1）定義域為(－∞，1)，值域為(－∞，1)；

（2）f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數；（3）見解析。

【解析】主要考查對數函數的圖象和性質，復合函數的單調性。

解：(1)定義域為(－∞，1)，值域為(－∞，1)

(2)設1＞x₂＞x₁

∵a＞1，∴，于是a－＜a－

則log_a(a－a)＜log_a(a－)

即f(x₂)＜f(x₁)

∴f(x)在定義域(－∞，1)上是減函數

(3)證明：令y=log_a(a－a^x)(x＜1)，則a－a^x=a^y，x=log_a(a－a^y)

∴f^－1(x)=log_a(a－a^x)(x＜1)

故f(x)的反函數是其自身，得函數f(x)=log_a(a－a^x)(x＜1＝圖象關于y=x對稱．