Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條斜率之積為的直線l₁，l₂.當(dāng)直線l₁，l₂都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo).

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），或，或，或.

（Ⅰ）由，得.故圓Ｃ的圓心為點(diǎn)
從而可設(shè)橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設(shè)知
故橢圓Ｅ的方程為：
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切，得，即
同理可得.
從而是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是
　　　　　　　①
且
由得解得或
由得由得它們滿足①式，故點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為
，或，或，或.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程，求出即得橢圓E的方程，第二問設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用過P點(diǎn)的兩條直線斜率之積為，得出關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個(gè)方程，利用點(diǎn)P在橢圓上得出另一方程，聯(lián)立兩個(gè)方程得點(diǎn)P坐標(biāo).