Question

 

已知橢圓C：的焦點在y軸上，且離心率為．過點M(0，3)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．

    （1）求橢圓C的方程；

（2）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當||<時，求實數λ的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由題知a²=m，b²=1，∴ c²=m-1

∴ ，解得m=4．

∴ 橢圓的方程為．  …………………………………………………4分

（2）當l的斜率不存在時，，不符合條件． ………5分

設l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

聯立l和橢圓的方程：  消去y，整理得(4+k²)x²+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)²-4×(4+k²)×5=16k²-80>0，解得k²>5．

且，

∴ =，

由已知有，

整理得13k⁴-88k²-128<0，解得 ，

∴ 5<k²<8．………………………………………………………………………9分

∵ ，即(x₁，y₂)+(x₂，y₂)= λ(x₀，y₀)，

∴ x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂₌λy₀，

當λ=0時，x₁+x₂=，，

顯然，上述方程無解．

當λ≠0時，=，．

∵ P(x₀，y₀)在橢圓上，

∴ ，

化簡得．

由 5<k²<8，可得3<²<4，

∴ λ∈(-2，-)∪(，2)．

即λ的取值范圍為(-2，)∪(，2)．…………………………………12分