Question

已知橢圓C：的焦點在y軸上，且離心率為．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且離心率為，得m=4．由此能求出橢圓的方程．
（2）當l的斜率不存在時，，不符合條件．設l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），聯立l和橢圓的方程：，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（1）由題知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴，解得m=4．
∴橢圓的方程為．（4分）
（2）當l的斜率不存在時，，不符合條件．（5分）
設l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），聯立l和橢圓的方程：
，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且，，
∴==
由已知有＜整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x，y），
∴x₁+x₂=λx，y₁+y₂=λy
當λ=0時，，，顯然，上述方程無解．
當λ≠0時，，．
∵P（x，y）在橢圓上，
∴，
化簡得．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，-）∪（，2）．即λ的取值范圍為（-2，-）∪（，2）．（12分）
點評：本題考查圓錐曲線和直線 的位置關系和應用，解題時要注意公式的靈活運用．