Question

已知直線x=a（0＜a＜

π

2

）與函數f（x）=sinx和函數f（x）=cosx的圖象分別交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，若MN=

7

13

，則y₁+y₂=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先畫出圖象，由題意可得|sina-cosa|=

7

13

，于是sin2a=

120

169

．要求的中點是

sina+cos

2

，將其平方即可得出

解答： 解：由題意可得|sina-cosa|=

7

13

，∴1-sin2a=

49

169

，∴sin2a=

120

169

．
線段MN的中點縱坐標為b＞0，則b=

y1+y2

2

=

sina+cosa

2

，∴b²=

1+sin2a

4

=

289

169

，
∴b=

17

13

=

1

2

（y₁+y₂），∴y₁+y₂=

34

13

，
故答案為：

34

13

．

點評：本題考查三角函數的圖象和性質，數形結合思想是解決問題的關鍵，屬于中檔題．