Question

（2013•豐臺區二模）在圓x²+y²=25上有一點P（4，3），點E，F是y軸上兩點，且滿足|PE|=|PF|，直線PE，PF與圓交于C，D，則直線CD的斜率是

4

3

．

Answer 1

分析：過P點作x軸平行線，交圓弧于G，則G點坐標為（-4，3），可得G就是圓弧CD的中點，OG⊥CD，設CD與y軸交于點A，PG與CD交與點M，PG與y軸交與點N，由∠DAO+∠GOA=90°，∠AMP+∠DAO=90°，可得∠CMP=∠GOA．直線CD的斜率等于tan∠CMP=tan∠GOA，再根據直角三角形中的邊角關系求得tan∠GOA的值．

解答：解：過P點作x軸平行線，交圓弧于G，連接OG，則：G點坐標為（-4，3），PG⊥EF．
∵PEF是以P為頂點的等腰三角形，∴PG就是角DPC的平分線，∴G就是圓弧CD的中點，∴OG⊥CD．
設CD與y軸交于點A，PG與CD交與點M，PG與y軸交與點N，∴∠DAO+∠GOA=90°，又∠AMP+∠DAO=90°，
∴∠CMP=∠GOA．
∴直線CD的斜率等于tan∠CMP=tan∠GOA．
直角三角形GON中，tan∠GOA=

GN

ON

=

4

3

，
故答案為

4

3

．

點評：本題考查的知識點是三角函數求值，其中利用腰三角形性質及垂徑定理，結合同角或等角的余角相等，求得∠CMP=∠GOA 是解答本題的關鍵，屬于中檔題．