Question

【題目】已知函數f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）．
（1）設c=0． ①若a=b，曲線y=f（x）在x=x0處的切線過點（1，0），求x0的值；
②若a＞b，求f（x）在區間[0，1]上的最大值．
（2）設f（x）在x=x1 ， x=x2兩處取得極值，求證：f（x1）=x1 ， f（x2）=x2不同時成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：當c=0時，f（x）=ax3﹣bx2+b﹣a．

①若a=b，則f（x）=ax3﹣ax2，

從而f'（x）=3ax2﹣2ax，

故曲線y=f（x）在x=x0處的切線方程為 = ．

將點（1，0）代入上式并整理得 =x0（1﹣x0）（3x0﹣2），

解得x0=0或x0=1．

②若a＞b，則令f'（x）=3ax2﹣2bx=0，解得x=0或 ．

（ⅰ）若b≤0，則當x∈[0，1]時，f'（x）≥0，

∴f（x）為區間[0，1]上的增函數，

∴f（x）的最大值為f（1）=0．

（ ii）若b＞0，列表：

x	0	（0， ）		（ ，1）	1
f′（x）	0	﹣	0	+
f（x）	b﹣a＜0	減函數	極小值	增函數	0

所以f（x）的最大值為f（1）=0．

綜上，f（x）的最大值為0

（2）解：假設存在實數a，b，c，使得f（x1）=x1與f（x2）=x2同時成立．

不妨設x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）．

因為x=x1，x=x2為f（x）的兩個極值點，

所以f'（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）．

因為a＞0，所以當x∈[x1，x2]時，f'（x）≤0，

故f（x）為區間[x1，x2]上的減函數，

從而f（x1）＞f（x2），這與f（x1）＜f（x2）矛盾，

故假設不成立．

既不存在實數a，b，c，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同時成立

【解析】（1）①計算f′（1），得出切線方程，代入點（1，0）列方程解出x0；②求出f（x）的極值點，判斷兩極值點的大小及與區間[0，1]的關系，從而得出f（x）在[0，1]上的單調性，得出最大值；（2）使用反證法證明．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．