Question

（本小題滿分12分）
已知正項等差數列的前項和為，若，且成等比數列.
（1）求的通項公式；
（2）記的前項和為，求證.

Answer 1

（1）；（2）．

本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列。
（Ⅰ）先利用等差數列的性質以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比數列求出公差即可求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結論代入，直接利用數列求和的錯位相減法即可求T_n．
解：（1）∵，即，∴，所以，
又∵，，成等比數列， ∴，
即，解得，或（舍去），
∴，故；                -------------6分
（2），
∴，      ①
     ②
①②得，

∴．   ------------12分