Question

在（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展開式中，x⁷的系數為

-6

．

Answer 1

分析：先利用完全平方公式將：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴化為（1-x）（1-x³）⁴，將已知的系數問題轉化為（1-x³）⁴的系數問題，利用二項展開式的通項公式求出通項，求出系數．

解答：解：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴=（1-x）（1-x³）⁴
=（1-x³）⁴-x（1-x³）⁴
∴x⁷的系數為（1-x³）⁴的x⁷的系數減去（1-x³）⁴的x⁶的系數
∵（1-x³）⁴的通項為C₄^r（-x³）^r=（-1）^rC₄^rx^3r
∴（1-x³）⁴展開式不含x⁷項，x⁶的系數C₄²=6
∴（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展開式中，x⁷的系數為-6
故答案為：-6

點評：解決二項展開式的特定項問題，一般利用的工具是二項展開式的通項公式．