Question

已知定義在R上的函數f(x)，對任意的實數m、n，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)成立，且當x＞0時，有f(x)＞1成立． (1) 求f(0)的值，并證明當x＜0時，有0＜f(x)＜1成立； (2) 判斷函數f(x)在R上的單調性，并證明你的結論； (3) 若f(1)＝2，數列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，記，且對一切正整數n有恒成立，求實數m的取值范圍

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令，得， 由題意得，所以．…………………2分 若，則， ∴． 由已知，得．……………………………4分
(2)	解：任取且設，………………………………5分 由已知和(Ⅰ)得， ∴，………………………7分 ，∴， ∴． 所以函數在上是增函數．……………………………9分
(3)	解：， ∴數列是首項為2，公比為2的等比數列． ∴．………………………………11分 ．………………12分 又對一切正整數，有恒成立， 即恒成立， 又，∴恒成立． 又由(Ⅱ)得， 解得的取值范圍是．…………………14分