Question

【題目】如圖，已知是橢圓的左焦點，且橢圓經過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點的直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，過且與垂直的直線與軸和軸分別交于、兩點，記、的面積分別為、．若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由左焦點及橢圓過的點及、、之間的關系求出橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線的方程，與橢圓方程聯立求出兩根之和及之積，寫出中點坐標，進而寫出直線的方程，求出面積之比，由題意得直線的斜率，進而求出直線的方程．

（Ⅰ）設橢圓的焦距為，

由題意得：，，，解得：，，

所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）由題意得，直線的斜率不為零，

設直線的方程為，設點、，

聯立與橢圓的方程，消去，整理得，

由韋達定理得，，

，

所以線段的中點的坐標，

所以直線的方程為，即，

由題意得，，，，

即，整理得，，則，

所以直線的方程為.