Question

【題目】已知二次函數滿足:，的最小值為1，且在軸上的截距為4.

(1)求此二次函數的解析式；

(2)若存在區間，使得函數的定義域和值域都是區間，則稱區間為函數的“不變區間”.試求函數的不變區間；

(3)若對于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由，得對稱軸是，結合最小值可用頂點法設出函數式，再由截距求出解析式；

（2）根據二次函數的單調性確定函數的最大值和最小值，然后求解．

（3）求出在的最大值4，對函數

換元，得，，由用分離參數法轉化．

（1）∵，∴對稱軸是，又函數最小值是1，可設（），

∴，．

∴．

（2）若，則，，∴且，解得．∴，不變區間是；

若，則在上是減函數，∴或4，因為，所以舍去；

若，則在上是增函數，∴，

∴是方程的兩根，

由得，，不合題意．

綜上；

（3），時，，

設，令，當時，．

，

由題意存在，使成立，即，

時，的最小值是，

所以．