Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，記方程有兩不等實根為事件A，方程沒有實數根記為事件B，求事件A+B的概率
（Ⅱ）若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，由分步計數原理知基本事件共12個，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a＞b，滿足條件的事件中包含6個基本事件，由古典概型公式得到事件A發生的概率，同理可得出事件B發生的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可求出結果．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部約束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．根據幾何概型公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，總的基本事件有：
（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、
（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）共有12個…（1分）
事件A發生，要求△=4a²-4b²＞0，即a²＞b²，
符合的基本事件有（1，0）、（2，0）、
（2，1）、（3，0）、（3，1）、（3，2），共6個…（2分）
故P（A）=

6

12

=

1

2

…（3分）
事件B發生要求△=4a²-4b²＜0，即a²＜b²，符合的基本事件有：（0，1）、（0，2）、
（1，2）共3個…（4分）
故P（B）=

3

12

=

1

4

…（5分）
又事件A、B互斥，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

3

4

…（6分）
（Ⅱ）試驗的全部約束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率為=

3×2-  1 2 ×22

3×2

=

2

3

…（12分）

點評：本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學習的高考時常以選擇和填空出現，有時文科會考這種類型的解答題．