Question

設有關于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是從0、1、2、3四個數中任取的一個數，b是從0、1、2三個數中任取的一個數，求上述方程沒有實根的概率．
（2）若a是從區間[0，3]內任取的一個數，b=2，求上述方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，根據題意先做出方程沒有實根的充要條件，列舉出試驗發生的所有事件，看出符合條件的事件，根據古典概型公式得到結果．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，根據前面做出的方程沒有實根的充要條件，寫出試驗發生的所有事件包含的元素，和符合條件的元素的集合，根據幾何概型公式得到結果．

解答：解：由題意知本題是一個古典概型，
設事件A為“方程x²-2ax+b²=0無實根”
當a＞0，b＞0時，方程x²-2ax+b²=0無實根的充要條件為
△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b
（1）基本事件共12個：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），
（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A包含3個基本事件（0，1），（0，2）（1，2），
∴事件A發生的概率為P（A）=

3

12

=

1

4

．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，
試驗的所有基本事件所構成的區域為：{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，
其中構成事件B的區域為{（a，b）|0≤a≤3，b=2，a＜b}
∴所求概率為P（B）=

2

3

．

點評：高中必修中學習了幾何概型和古典概型兩種概率問題，解題時，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數．再看是不是幾何概型，它的結果要通過長度、面積或體積之比來得到．