Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求方程有實根的概率．
（2）若a是從區間[0，t+1]任取的一個數，b是從區間[0，t]任取的一個數，其中t滿足2≤t≤3，求方程有實根的概率，并求出其概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件共12個，然后找出滿足x²+2ax+b²=0有實數根即a≥b
的基本事件，根據古典概型的概率公式即可即可；
（2）a，b構成的實數對（a，b）滿足條件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，設事件B為“方程有實根”，則此事件滿足幾何概型，利用幾何概型的概率公式進行計算即可．

解答：解：設事件A為“方程有實根”，x²+2ax+b²=0有實數根需滿足△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²．
又a≥0，b≥0，所以a≥b
（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件共12個：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．
事件A中包含9個基本事件，（0，0）（1，0）（1，1）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
∴事件A發生的概率為P=

9

12

=

3

4

（2）a，b構成的實數對（a，b）滿足條件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，如圖
設事件B為“方程有實根”，則此事件滿足幾何概型
P（B）=

S陰影

S矩形

=

(1+t+1)×t 2

t(t+1)

=

t+2

2(t+1)

=

1

2

[1+

1

t+1

]
因為2≤t≤3，所以3≤t+1≤4，即

1

4

≤

1

t+1

≤

1

3

所以

5

4

≤1+

1

t+1

≤

4

3

即

5

8

≤P（B）≤

2

3

點評：本題主要考查了列舉法計算基本事件數及事件發生的概率，以及幾何概型的概率，同時考查了畫圖的能力，屬于中檔題．