Question

【題目】（本小題滿分12分）已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點.

（1）判斷并說明上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不

存在，請說明理由；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，；（2）.

【解析】

試題（1）根據四棱錐中，底面，底面是矩形可知，可以通過建立空間直角坐標系來求解問題，設，，根據條件中給出的數據可得，從而可求得平面的一個法向量，再由平面，可知，可得，因此存在滿足條件的點，且；（2）由與平面所成的角為可知，結合（1）可知平面的一個法向量為，再取平面的一個法向量為，可求得，即二面角的平面角的余弦值為.

試題解析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，

∵，∴，，，

設平面的一個法向量，∴，∴，∴，

∵，∴，∴；（2）∵為直線與平面所成的角，

∴，∵，∴，由（1）知，平面的一個法向量為，

取平面的一個法向量為，∴，∴二面角的平面角的余弦值為.