Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）歸納數列{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，代入計算，可得a₁，a₂，a₃的值；
（2）由（1）猜想猜想它的通項公式，再利用數學歸納法的證題步驟進行證明．

解答： 解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=

2an

2+an

，
∴a₁=1，a₂=

2

3

，a₃=

1

2

；
（2）由（1）猜想a_n=

2

n+1

．
下面用數學歸納法證明之，
①當n=1時，a₁=1，結論成立；
②假設n=k（k≥1）時，結論成立，即a_k=

2

k+1

，則
n=k+1時，a_k+1=

2ak

2+ak

=

4 k+1

2+ 2 k+1

=

2

(k+1)+1

，
所以當n=k+1等式成立
根據①②得a_n=

2

n+1

成立．

點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法．