Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且橢圓四個頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形面積為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l ：y＝x＋m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，以MN為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3，－2)，求m的值及△PMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率和菱形面積，得到關(guān)于的方程，解出得到橢圓方程.

（2）直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，得到中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用等腰三角形三線合一，即底邊中線與底邊垂直，構(gòu)造方程，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式求出的長，利用點(diǎn)到直線的距離，求出底邊上的高，從而得到的面積.

（1）橢圓四個頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形面積為

橢圓離心率為

又

解得，故所求橢圓C的方程為：

（2）設(shè)，，的中點(diǎn)為

消去得：

由韋達(dá)定理得：

，

所以

由

， 解得 ，滿足

即

頂點(diǎn)到底邊的距離為：

所求.