Question

兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a₁=1，第2個五角形數記作a₂=5，第3個五角形數記作a₃=12，第4個五角形數記作a₄=22，…，若按此規律繼續下去，a₅=

 

，a_n=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：圖表型,推理和證明

分析：仔細觀察法各個圖形中實心點的個數，找到個數之間的通項公式，再求第5個五角星的中實心點的個數．

解答： 解：第一個有1個實心點，
第二個有1+1×3+1=5個實心點，
第三個有1+1×3+1+2×3+1=12個實心點，
第四個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22個實心點，
…
第n個有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=

3n(n-1)

2

+n=

3n2-n

2

個實心點，即a_n=

3n2-n

2

．
故當n=5時，a₅=

3n2-n

2

=35個實心點．
故答案為：35，

3n2-n

2

．

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察每個圖形并從中找到通項公式．