Question

【題目】設，已知定義在R上的函數在區間內有一個零點， 為的導函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）設，函數，求證： ；

（Ⅲ）求證：存在大于0的常數，使得對于任意的正整數，且 滿足.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區間是， ，遞減區間是.（Ⅱ）見解析；（III）見解析.

【解析】試題分析：由于為，所以判斷的單調性，需要對二次求導，根據的導數的符號判斷函數的單調性，給出單調區間;由，得 ，.令函數， 分別求導證明.有關零點問題，利用函數的單調性了解函數的圖像情況，對極值作出相應的要求可控制零點的個數.

試題解析：（Ⅰ）解：由，可得，

進而可得.令，解得，或.

當x變化時， 的變化情況如下表：

x
	+	-	+
	↗	↘	↗

所以， 的單調遞增區間是， ，單調遞減區間是.

（Ⅱ）證明：由，得，

.

令函數，則.由（Ⅰ）知，當時， ，故當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.因此，當時， ，可得.

令函數，則.由（Ⅰ）知， 在上單調遞增，故當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減.因此，當時， ，可得.

所以， .

（III）證明：對于任意的正整數 ， ，且，

令，函數.

由（II）知，當時， 在區間內有零點；

當時， 在區間內有零點.

所以在內至少有一個零點，不妨設為，則.

由（I）知在上單調遞增，故，

于是.

因為當時， ，故在上單調遞增，

所以在區間上除外沒有其他的零點，而，故.

又因為， ， 均為整數，所以是正整數，

從而.

所以.所以，只要取，就有.