Question

【題目】如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，底面ABCD為邊長為 的正方形，PA⊥BD．

（1）求證：PB=PD；
（2）若E，F分別為PC，AB的中點，EF⊥平面PCD，求直線PB與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AC，BD交于點O，連結PO．

∵底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OB=OD．

又PA⊥BD，PA平面PAC，AC平面PAC，PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PAC，∵PO平面PAC，

∴BD⊥PO．

又OB=OD，

∴PB=PD

（2）解：設PD的中點為Q，連接AQ，EQ，

則EQ∥CD，EQ= CD，又AF∥CD，AF= = ，

∴EQ∥AF，EQ=AF，

∴四邊形AQEF為平行四邊形，∴EF∥AQ，

∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，

∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中點，

∴AP=AD= ．

∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，

又AD⊥CD，AQ∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．

又BD⊥PA，BD∩CD=D，

∴PA⊥平面ABCD．

以A為坐標原點，以AB，AD，AP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B（ ，0，0），P（0，0， ），A（0，0，0），Q（0， ， ）．

∴ =（0， ， ）， =（ ，0，﹣ ）．

∵AQ⊥平面PCD，∴ 為平面PCD的一個法向量．

∴cos＜ ＞= =﹣ ．

設直線PB與平面PCD所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ＞|= ．

∴直線PB與平面PCD所成角為 ．

【解析】（1）連接AC，BD交于點O，連結PO，則AC⊥BD，結合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O為BD的中點，得出OP為BD的中垂線，得出結論；（2）設PD的中點為Q，連接AQ，EQ，證明四邊形AQEF是平行四邊形，于是AQ⊥平面PCD，通過證明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，結合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A為原點建立空間直角坐標系，則直線PB與平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜ ＞|，從而得出線面角的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)．