Question

【題目】設平面直角坐標系xOy中，曲線G：y= + x﹣a2（x∈R），a為常數．
（1）若a≠0，曲線G的圖象與兩坐標軸有三個交點，求經過這三個交點的圓C的一般方程；
（2）在（1）的條件下，求圓心C所在曲線的軌跡方程；
（3）若a=0，已知點M（0，3），在y軸上存在定點N（異于點M）滿足：對于圓C上任一點P，都有 為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，得曲線與y軸的交點是（0，﹣a2），

令y=0，則 + x﹣a2=0，解得x=﹣2a或x=a，

∴曲線與x軸的交點是（﹣2a，0），（a，0）．

設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則 ，

解得D=a，E=a2﹣2，F=﹣2a2，

∴圓的一般方程為x2+y2+ax+（a2﹣2）y﹣2a2=0；

（2）解：由（1）可得C（﹣ ， ）

設C（x，y），則x=﹣ ，y= ，消去a，得到y=1﹣2x2，

∵a≠0，

∴x≠0，

∴圓心C所在曲線的軌跡方程為y=1﹣2x2（x≠0）

（3）解：若a=0，圓C的方程為x2+（y﹣1）2=1，

令x=0，得到圓C與y軸交于點（0，0），（0，2）

由題意設y軸上的點N（0，t）（t≠3），

當P與圓C的交點為（0，2）時， = ，

當P與圓C的交點為（0，0）時， = ，

由題意， = ，∴t= （t=3舍去）

下面證明點N（0， ），對于圓C上任一點P，都有 為一常數

設P（x，y），則x2+（y﹣1）2=1，

∴ = = ，

∴ = ，

∴在y軸上存在定點N（0， ），滿足：對于圓C上任一點P，都有 為一常數

【解析】（1）求出曲線G的圖象與兩坐標軸有三個交點，利用待定系數法求經過這三個交點的圓C的一般方程；（2）由（1）可得C（﹣ ， ），消去a，求圓心C所在曲線的軌跡方程；（3）令x=0，得到圓C與y軸交于點（0，0），（0，2），由此求出點N（0， ），對于圓C上任一點P，都有 為一常數，再進行證明即可．
【考點精析】本題主要考查了圓的一般方程的相關知識點，需要掌握圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯才能正確解答此題．