Question

已知兩個定點O（0，0），A（3，0），動點M滿足 |MO|=

1

2

|MA|，記動點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求直線l：x+y+2=0被C截得的弦長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出M點坐標，直接由|MO|=

1

2

|MA|代入兩點間的距離公式化簡即可；
（Ⅱ）求出圓C的圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由勾股定理求半弦長，從而得到弦長．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），
由|MO|=

1

2

|MA|，得

x2+y2

=

1

2

(x-3)2+y2

，
化簡得x²+y²+2x-3=0，
∴動點M的軌跡C的方程為x²+y²+2x-3=0；
（Ⅱ）由x²+y²+2x-3=0，即（x+1）²+y²=4，
∴C是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓．
圓心（-1，0）到直線l：x+y+2=0的距離d=

|-1+2|

2

=

1

2

，
∴弦長為2

r2-d2

=2

4- 1 2

=

14

．

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了曲線方程的求法，訓練了利用弦心距和圓的半徑求弦長，是中檔題．