Question

已知兩個定點A、B的坐標分別為（-1，0）和（1，0），動點P滿足

AP

•

OB

=

|PB|

（O為坐標原點）．
（I）求動點P的軌跡E的方程；
（II）過點C（0，1）的直線l與軌跡E在x軸上方部分交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于D點，求D點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設P（x，y），則

AP

=(x+1，y)，

OB

=(1，0)，

PB

=(x-1，y)，由題意知x+1=

(x-1)2+y2

，所以動點P的軌跡E的方程是y²=4x．
（II）設直線l的方程為x=k（y-1），代入軌跡E的方程y²=4x，整理得：y²-4ky+4k=0．由題意知k＞1．由根與系數的關系可得MN的中點坐標為（k（2k-1），2k），由此可知線段MN垂直平分線方程為：y-2k=-k[x-k（2k-1）]，由此能夠求出D點橫坐標的取值范圍．

解答：解：（I）設P（x，y），則

AP

=(x+1，y)，

OB

=(1，0)，

PB

=(x-1，y)，
∵動點P滿足

AP

•

OB

=

|PB|

（O為坐標原點），
∴x+1=

(x-1)2+y2

，整理得y²=4x．
∴動點P的軌跡E的方程是y²=4x．
（II）設直線l的方程為x=k（y-1），
代入軌跡E的方程y²=4x，整理得：y²-4ky+4k=0．
由題意知，（4k）²-4×4k＞0且4k＞0，解得k＞1．
由根與系數的關系可得MN的中點坐標為（k（2k-1），2k），
∴線段MN垂直平分線方程為：y-2k=-k[x-k（2k-1）]，
令y=0，得D點的橫坐標x₀=2k²-k+2，
∵k＞1，
∴x₀＞3，即為所求

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．