Question

（本題滿分14分）
已知直線，圓.
（Ⅰ）證明：對任意，直線與圓恒有兩個公共點.
（Ⅱ）過圓心作于點，當變化時，求點的軌跡的方程.
（Ⅲ）直線與點的軌跡交于點，與圓交于點，是否存在的值，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）軌跡的方程為.
（Ⅲ）存在，使得且.

本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的綜合運用。
解：（Ⅰ）方法1：圓心的坐標為，半徑為3…………………1分
圓心到直線距離………………2分
∴
∴即
∴直線與圓恒有兩個公共點……………………4分
方法2：聯立方程組…………………………1分
消去，得………………2分

∴直線與圓恒有兩個公共點………………………4分
方法3：將圓化成標準方程為.…1分
由可得：.
解得，所以直線過定點.……………3分
因為在圓C內，所以直線與圓恒有兩個公共點.………………4分
（Ⅱ）設的中點為，由于°，
∴
∴點的軌跡為以為直徑的圓.………………7分
中點的坐標為，.
∴所以軌跡的方程為.………………9分
（Ⅲ）假設存在的值，使得.
如圖所示，

有，……10分
又，，
其中為C到直線的距離.……………12分
所以，化簡得.解得.
所以存在，使得且.……………………14分