Question

設函數f(x)＝x²－2mx＋m²＋1(m∈R⁺)，g(x)＝x＋(k∈R⁺)．

(1)當x∈(0，∞)時，f(x)和g(x)都滿足：存在實數a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表達式；

(2)(文科不做、理科做)對于(1)中的f(x)，設實數b滿足|x－b|＜1．

求證：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵當x∈R+時，g(x)＝x＋＝＋＋≥3×＝3，當且僅當＝時，等號成立， 　　即，x＝時，g(x)min＝3， 　　當x∈R+時，f(x)＝(x－m)2＋1，∴f(x)min＝f(m)＝1． 　　∵當x∈R+時有，f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)，∴f(a)、g(a)分別是f(x)和g(x)在(0，＋∞)上的最小值． 　　∴　　解得，m＝2，k＝4． 　　∴f(x)＝x2－4x＋5，g(x)＝x＋． 　　(2)∵|f(x)－f(b)|＝|x2－4x－b2＋4b|＝|(x－b)(x＋b)－4)| 　　＝|x－b|·|x＋b－4|． 　　∵|x－b|＜1，　　∴|f(x)－f(b)|＜|x＋b－4| 　　＝|(x－b)＋2b－4| 　　≤|x－b|＋|2b|＋4 　　＜1＋|2b|＋4＝2|b|＋5．